domingo, 11 de noviembre de 2012



DERIVADA 
 Es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. 

Cuya definición   de derivada es la siguiente:



Propiedades de la Derivada 

  1. Derivada una función constante


La derivada de una función constante es cero.

 Ejemplo

Si   
\mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2, \, \forall x \in \mathbb{R}
,   entonces

\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}

2.Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones:


\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,


Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:


\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime =
\mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime

3. Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones:


\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,

 Ejemplo


\left(
</p>
<pre> \, x^2 - x \,
</pre>
<p>\right)^\prime =
\left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1
4. Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones,   
\mathrm{f}
  y   
\mathrm{g}
, viene dada por la fórmula:


\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,

 Ejemplo


\left(
</p>
<pre> \, x^2 \cdot x \,
</pre>
<p>\right)^\prime =
\left(  \,  x^2  \,  \right)^\prime  \cdot   x  +  x^2  \cdot  \left(  \,  x  \,
\right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2
Observese que   
x^2 \cdot x = x^3
  y que la derivada de   
x^3
  es precisamente   
3x^2
.

5. Derivada de un cociente de funciones

La derivada del cociente   
\frac{f}{g}
  viene dada por la fórmula:


\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}

 Ejemplo


\left(
</p>
<pre> \, \frac{x^2}{e^x} \,
</pre>
<p>\right)
^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left(
</p>
<pre>   \, e^x \, \right)^\prime}{\left( \, e^x \, \right)^2} =
\frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} 
</pre>
<p>



Derivada de una constante

Tipo nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:


Derivada de una función potencial: Forma simple
Tipo nº 2
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:

Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
Ejercicio nº 41)

Sol:

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple
Ejercicio nº 40)
Sol:

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