domingo, 11 de noviembre de 2012



DERIVADA 
 Es uno de los conceptos más importante en matemáticas. La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto. 

Cuya definición   de derivada es la siguiente:



Propiedades de la Derivada 

  1. Derivada una función constante


La derivada de una función constante es cero.

 Ejemplo

Si   \mathrm{f} \left( \, x \, \right) = 2, \, \forall x \in \mathbb{R} ,   entonces
\mathrm{f}^\prime \left( \, x \, \right) = 0, \, \forall x \in \mathbb{R}

2.Derivada de una suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: 


\left(
 \, \mathrm{f} \, + \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, + \, \mathrm{g}^\prime \,

Este resultado, se puede ampliar a cualquier número de funciones:

\left( \, \mathrm{f}_1 + \mathrm{f}_n + \ldots + \mathrm{f}_n \, \right)^\prime = \mathrm{f}_1^\prime + \mathrm{f}_n^\prime + \ldots + \mathrm{f}_n^\prime

3. Derivada de una diferencia de funciones

La derivada de la diferencia de dos funciones es igual a la diferencia de las derivadas de dichas funciones: 


\left(
 \, \mathrm{f} \, - \, \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \, - \, \mathrm{g}^\prime \,
 Ejemplo

\left( </p> <pre> \, x^2 - x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime - \left( \, x \, \right)^\prime = 2x - 1
4. Derivada de un producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones,   \mathrm{f}   y   \mathrm{g} , viene dada por la fórmula: 


\left(
 \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, + \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime \,
 Ejemplo

\left( </p> <pre> \, x^2 \cdot x \, </pre> <p>\right)^\prime = \left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot x + x^2 \cdot \left( \, x \, \right)^\prime = 2x \cdot x + x^2 \cdot 1 = 3x^2
Observese que   x^2 \cdot x = x^3   y que la derivada de   x^3   es precisamente   3x^2 .

5. Derivada de un cociente de funciones

La derivada del cociente   \frac{f}{g}   viene dada por la fórmula: 


\left(
 \, \frac{f}{g} \,
\right)
^\prime \, = \, \frac{\mathrm{f}^\prime \cdot \mathrm{g} \, - \, \mathrm{f} \cdot \mathrm{g}^\prime}{\mathrm{g}^2}
 Ejemplo

\left( </p> <pre> \, \frac{x^2}{e^x} \, </pre> <p>\right) ^\prime \, = \, \frac{\left( \, x^2 \, \right)^\prime \cdot e^x - x^2\cdot\left( </p> <pre> \, e^x \, \right)^\prime}{\left( \, e^x \, \right)^2} = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x }{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x} </pre> <p>



Derivada de una constante

Tipo nº 1
LA DERIVADA DE UNA CONSTANTE es cero.
Ejercicio nº 1)
Sol:
Ejercicio nº 2)
Sol:
Ejercicio nº 3)
Sol:
Ejercicio nº 4)
Sol:
Ejercicio nº 5)
Sol:
Ejercicio nº 6)
Sol:
Ejercicio nº 7)
Sol:
Ejercicio nº 8)
Sol:
Ejercicio nº 9)
Sol:
Ejercicio nº 10)
Sol:


Derivada de una función potencial: Forma simple
Tipo nº 2
LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN POTENCIAL es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
Ejercicio nº 11)
Sol:
Ejercicio nº 12)
Sol:
Ejercicio nº 13)
Sol:
Ejercicio nº 14)
Sol:
Ejercicio nº 15)
Sol:
Ejercicio nº 16)
Sol:
Ejercicio nº 17)
Sol:
Ejercicio nº 18)
Sol:
Ejercicio nº 19)
Sol:
Ejercicio nº 20)
Sol:
Ejercicio nº 21)
Sol:
Ejercicio nº 22)
Sol:
Ejercicio nº 23)
Sol:
Ejercicio nº 24)
Sol:

Ejercicio nº 25)
Sol:
Ejercicio nº 26)
Sol:
Ejercicio nº 27)
Sol:
Ejercicio nº 28)
Sol:
Ejercicio nº 29)
Sol:
Derivada de una función logarítmica: Forma simple
Ejercicio nº 30)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base e: Forma simple
Ejercicio nº 31)
Sol:
Derivada de una función exponencial con base distinta del número e: Forma simple
Ejercicio nº 32)
Sol:
Ejercicio nº 33)
Sol:
Ejercicio nº 34)
Sol:
Ejercicio nº 35)
Sol:
Ejercicio nº 36)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo seno
Ejercicio nº 37)
Sol:
Derivada de una función trigonométrica tipo coseno
Ejercicio nº 38)
Derivada de una función trigonométrica tipo tangente: Forma simple
Ejercicio nº 39)
Derivada de una función trigonométrica tipo arco seno: Forma simple
Ejercicio nº 41)

Sol:

Derivada de una función trigonométrica tipo arco tangente: Forma simple
Ejercicio nº 40)
Sol:

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Mas ejercicios de  funciones  en los siguientes link









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