¡Funciones, Limite y Derivada!: Definición y tipos de funciones

Función Matemática

Una función es una regla de correspondencia entre dos conjunto de tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto.

Al primer conjunto (el conjunto D) se le da el nombre de dominio.
Al segundo conjunto (el conjunto C) se le da el nombre de contra- dominio o imagen.

Por otra parte una función se puede concebir también como un aparato de calculo. La entrada es el dominio, los cálculos que haga el aparato con la entrada son en sí la función y la salida sería el contra dominio.

Esta forma de concebir la función facilita el encontrar su dominio.

Notación: al número que "entra" a la máquina usualmente lo denotamos con una letra, digamos

cualquier otra.

Al número que "sale" de la máquina lo denotamos con el símbolo

A este respecto Una función también vista como una «Caja Negra», que transforma los valores u objetos de «entrada» en los valores u objetos de «salida»

En matemática , se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un circulo es función de su radio: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r².

Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, T = d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es la variable independiente. El concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere en matemáticas a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto. Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero)

Para entender un poco más de funciones hay que saber los conceptos de Dominio y Rango :

Dominio

En matemáticas , el dominio (conjunto de definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de la misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se denota o bien.

Rango

Son todos los valores posibles de f(x) o sea de Y. Si tenemos f(X) = sen (X) El rango va de -1 a +1.

Si F(X) = una parábola cóncava en forma de U. El rango va del vértice dala parábola hacia arriba hasta + infinito.

La manera habitual de denotar una función f es:

f: A → B

a → f(a),

Donde A es el dominio de la función f, su primer conjunto o conjunto de partida; e B es el dominio algoritmo para obtener la imagen de un cierto objeto arbitrario a del dominio A, es decir, el (único) objeto de B que le corresponde. En ocasiones esta expresión es suficiente para especificar la función por completo, infiriendo el dominio y codominio por el contexto. En el ejemplo anterior, las funciones «cuadrado» e «inicial», llámeseles f y g, se denotarían entonces como:

f: Z → N

k → k², o sencillamente f(k) = k²;

g: V → A

p → Inicial de p;

si se conviene V = {Palabras del español} y A = {Alfabeto español}.

Una función puede representarse de diversas formas: mediante el citado algoritmo para obtener la imagen de cada elemento, mediante una tabla de valores que empareje cada valor de la variable independiente con su imagen —como las mostradas arriba—, o como una gráfica que dé una imagen de la función.

Ejemplo: Sea X={A,B,D,Z} Y={4,6,7,8,9} y la función fx -> y cuya gráfica es:

(A, 7) (B, 4) (D, 9) (Z, 8)

Conjunto de partida {A, B, D, Z}

DOMINIO f: {A, B, D, Z}

RANGO: {4,6,7,8,9}

Variable Independiente: Es la X

Variable dependiente: Es la Y

Ejemplo:

Y=2X-6

se sustituye la X por cada uno de los valores que se le desea dar

solución:

X=-3

Y=-2(-3)-6

Y=-6-6

Y=-12

X=-1

Y=-2(-1)-6

Y=-2-6

Y=-8

X=2

Y=2(2)-6

Y=4-6

Y=-2

X=4

Y=4(2)-6

Y=8-6

Y=2

Dominio f {X

f(X)}

Rango f = Todos los Reales " R"

dominio f =Todos los Reales " R"

PROPUESTOS : Dadas las funciones

A )f (X)= X-3

B) f(X)= -3X+1/4

C) f(X)= X-6

Hallar Dominio, Rango y Gráficar

Tipos de Funciones

Funciones algebraicas

En esta función las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición(+), sustracción(-), multiplicación(*), división(/), potenciación(aⁿ) y radicación.

Las Funciones Algebraicas pueden ser:

Funciones explícitas

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

f(x) = 5x − 2

Funciones implícitas

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

Funciones Polinómicas

las funciones Polinómicas son las que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀+ a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es

, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes

El criterio viene dado por un número real.

f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómicas de primer grado

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Funciones a trozos

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

Funciones radicales

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

Funciones trascendentes

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

función Lineal

La función lineal es una función polinómica de primer grado; dicho de otro, es una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta función se puede escribir como:

$f(x) = m x + b \,$

donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:

$f(x) = m x \;$

mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

$f(x) = m x + b \;$

cuando b es distinto de cero.

Ejemplo:

Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

$y = m \; x + b \,$

que se conoce como ecuación de la recta en el plano xy.

En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

$y = 0,5\; {x} + 2 \,$

En esta recta el parámetro m= 1/2 por tanto de pendiente 1/2, es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.
En la ecuación:

$y = -{x} + 5 \,$

La pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valor de b= 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo $\theta\,$ de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:

$m = \tan \theta \,$

visita esta pagina web donde encontraras la definición de función lineal y una manera mas sencilla de aprender realizando ejercicios..... Has Clic en el ENLACE

www.x.edu.uy/lineal.htm

dad/3esomatematicas/3quincena10/3eso_quincena10.pdf

escritorioalumnos.educ.ar/datos/matematicas.html

Función Cuadrática

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función polinómica definida como:

Donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.

La representación gráfica en el plano cartesiano de una función cuadrática es una parábola, cuyo eje de simetría es paralelo al eje de las ordenadas. La parábola se abrirá hacia arriba si el signo de a es positivo, y hacia abajo en caso contrario. El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos, como por ejemplo la caída libre o el tiro parabólico.

Las raíces (o ceros) de una función cuadrática, como en toda función, son los valores de x, para los cuales

Por tratarse de un polinomio de grado 2, habrá a lo sumo 2 raíces, denotadas habitualmente como:

dependiendo del valor del discriminante Δ definido como:

§ Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo:

§ Una solución real doble si el discriminante es cero:

Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo:

Representación analítica

Existen tres formas principales de escribir una función cuadrática, aplicables según el uso que se le quiera dar a la función: un estudio analítico de la función o de la ecuación cuadrática, una interpretación o construcción geométrica de la parábola, etc. Las tres formas son equivalentes.

Forma desarrollada

La forma desarrollada de una función cuadrática (o forma estándar) corresponde a la del polinomio de segundo grado, escrito convencionalmente como:

con

Forma factorizada

las cuadráticas se pueden escribir de forma factorizada en función de sus raíces como:

Siendo a el coeficiente principal de la función, y

las raíces de f(X) . En el caso de que el discriminante Δ sea igual a 0 entonces

por lo que la factorización adquiere la forma:

Representación gráfica

Corte con el eje y

La función corta el eje y en el punto y = f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):

lo que resulta:

La función corta el eje y en el punto (0, c), siendo c el término independiente de la función.

A este punto de la función también se lo conoce con Ordenada al Origen.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y vale 0, dada la función:

Se tiene que:

las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen, como es sabido, por la expresión:

Ejemplo: dada la función f(X)=X²+3X-4 hallar dominio, rango y gráfica de la función:

solución

a=1>0(hacia arriba)

a=1

b=3

c=-4

vértice

Xv=

= -(3)/2.1=-3/2

Yv=(-3/2)² + 3 (-3/2)-4

Yv=-9/4 -9/2 -4

Yv= -25/4

V=(-3/2 , -25/4)

Cortes con los ejes

Corte con el eje Y, hacer X=0

Y= X²+3X-4

Y=(0)²+3(0)-4

Y=-4

Corte con el eje X hacer Y=0

factorización

X²+3X-4 = 0 ->(X-1) (X+4)=0

m.n=-4

-1.4=-4

m+n=3

-1+4=3

X-1=0 y X+4=0

X1 X=-4

son las raíces. luego de tener los cortes se procede a gráfica la Parábola queda hacia arriba.

PROPUESTOS

Dada las funciones hallar dominio, rango y gráfica de las mismas.

f(X) =1-X²
3X²-4X+1
X²-25

-X²

En los siguientes vínculos encontraras mas Información a cerca de las Funciones Cuadráticas.

Función Exponencial

La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^xse llama función exponencial de base a y exponente x. También se puede decir que la función exponencial es conocida formalmente como la función real e^x, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=e^x o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.

En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

$E(x)=K \cdot a^x$

siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base aque utilicen

e^x->2,71828

Ejercicio: (x)=e^x3 +3

f(x)=e^(-1)3 +3

f(-1)e²

f(-1)e=2,71²

f(-1)=7,38

La gráfica queda de esta manera:

PROPUESTOS

has clic en los siguientes link y encontrarás mas información acerca de las funciones exponenciales.

http://www.youtube.com/watch?v=JulYyOS0hH4

http://kambry.es/Apuntes%20Web/Funcion%20Expo%20y%20Logarit.pdf

función Cubica

La función cúbica es una función polinómica de tercer grado. Tiene la forma: $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \,$ ; donde el coeficiente a es distinto de 0.Tanto el dominio de definición como el conjunto imagen de estas funciones pertenecen a los números reales La derivada de una función cúbica genera una función cuadrática y su integral una función cuártica.

Un ejemplo de función cúbica es: y = f(x) = x³, es la llamada: parábola cúbica

Propiedades:

§ El dominio de la función es la recta real es decir (-α : α)

§ El recorrido de la función es decir la imagen es la recta real.

§ La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

§ La función es continua en todo su dominio.

§ La función es siempre creciente.

§ La función no tiene asintotas.

§ La función tiene un punto de corte con el eje Y.

§ La función puede tener hasta un máximo de 3 puntos de intersección con el eje X.

Ejemplo:

Grafíque y analice las propiedades de la siguientes funciones

a) f(x) = 2x³ + 3x² - 12x=o

Propidades

§ Dominio: El conjunto de los Reales

§ Imagen: El conjunto de los Reales

§ Ceros de la función:

Se iguala la función a cero

2x³ + 3x² - 12x = 0 x( 2x² + 3x - 12) = 0 Extrayendo factor común x = 0 ( 2x² + 3x + 12)= 0 Igualando a cero ambos factores y realizar la descomposición.

§ Simetría: Demostrar que cumple f(-x)=-f(x).

Para demostrar la simetría analíticamente de selecciona un número cualesquiera y su opuesto ejemplo 1 y -1 Demostrar que f(-1) = - f(1)

f(-1) = 2(-1)³ + 12 . (-1)² + 2. (-1 )

      =  2.(-1)  + 12 . 1  - 2

      =  -2  + 12  -  2

      =  10 - 2

      =  8

f(1) = 2(1)³ + 12 . (1)² + 2. (1 )

      =    2.(1)  -  12 . 1  +  2

      =    2  - 12 + 2

      =   -10 + 2

      =  -8

Como f(-1) = - f(1) por tanto la función es simétrica.

§ Continuidad: La función es continua en todo su dominio pues gráficamente se puede observar que no tiene ningún punto de discontinuidad.

§ La función no tiene asuntotas.

§ Para determinar los puntos donde la función corta el eje de la y

Se determina el valor de la función para x=0 f(0) = 2. 0³ + 3. 0² - 12. .0 Obteniendo y= 0 y la función corta el eje de la y en el punto (0:0)

b) F(x) = -x3 +8

propuestos

Grafique y analice las siguientes funciones cúbicas.

1) f(x) = x³ + 12x + 2

2) f(x) = -x³ + 3x² + 9x

3) f(x) = 3x² + x³ - 1

http://www.youtube.com/watch?v=Bhm1N26YolA

http://www.youtube.com/watch?v=003Bab-Cvxk&feature=related

http://funciomaticas.com/documentos/Funcion%20Cubica.pdf/

función Racional

Es una función que puede ser expresada de la forma:

donde P y Q son polinomios y x una variable, siendo Q distinto del polinomio nulo. Las funciones racionales están definidas o tienen su dominio de definición en todos los valores de x que no anulen el denominador.
La palabra "racional" hace referencia a que la función racional es una razón o cociente (de dos polinomios); los coeficientes de los polinomios pueden ser números racionales o no.
Las funciones racionales tienen diversas aplicaciones en el campo del análisis numérico para interpolar o aproximar los resultados de otras funciones más complejas, ya que son computacionalmente simples de calcular como los polinomios, pero permiten expresar una mayor variedad de comportamientos.

Función homográfica: